5. $E\in AD$, $F\in BC$, $ABCD$ — параллелограмм, $AE=ED$, $BF:FC=4:3$. а) Выразить $\overrightarrow{EF}$ через $\vec m=\overrightarrow{AB}$, $\vec n=\overrightarrow{AD}$. б) Коллинеарны ли векторы $\overrightarrow{EF}$ и $\overrightarrow{CD}$?

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. $E\in AD$, $F\in BC$, $ABCD$ — параллелограмм, $AE=ED$, $BF:FC=4:3$. а) Выразить $\overrightarrow{EF}$ через…$ Фото задания

5. $E\in AD$, $F\in BC$, $ABCD$ — параллелограмм, $AE=ED$, $BF:FC=4:3$. а) Выразить $\overrightarrow{EF}$ через $\vec m=\overrightarrow{AB}$, $\vec n=\overrightarrow{AD}$. б) Коллинеарны ли векторы $\overrightarrow{EF}$ и $\overrightarrow{CD}$?

Accepted Answer

а) Поскольку $E$ — середина $AD$, имеем $\overrightarrow{AE}=\frac12\vec n$. В параллелограмме $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec n$. Из отношения $BF:FC=4:3$ следует, что $\overrightarrow{BF}=\frac47\vec n$.

Сложим векторы по пути от $E$ к $F$:

$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=-\frac12\vec n+\vec m+\frac47\vec n=\vec m-\frac1{14}\vec n.$

б) В параллелограмме $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}=-\vec m$. Вектор $\overrightarrow{EF}=\vec m-\frac1{14}\vec n$ не является скалярным кратным $-\vec m$, поскольку $\vec m$ и $\vec n$ неколлинеарны, а коэффициент при $\vec n$ ненулевой.

Ответ: а) $\overrightarrow{EF}=\vec m-\frac1{14}\vec n$; б) нет, не коллинеарны.