4. В углах, смежных с углами ромба, проведены биссектрисы. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.

Пусть углы ромба при соседних вершинах равны \(\alpha\) и \(\beta\). В параллелограмме соседние углы дополнительны, поэтому \(\alpha+\beta=180^\circ\).

Углы, смежные с ними, равны соответственно \(180^\circ-\alpha\) и \(180^\circ-\beta\). Угол между биссектрисами этих смежных углов равен

\(\frac{180^\circ-\alpha}{2}+\frac{180^\circ-\beta}{2}=180^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}=90^\circ\).

Значит, биссектрисы, проведённые при соседних вершинах, перпендикулярны. У противоположных вершин ромба равные углы, поэтому биссектрисы соответствующих смежных углов параллельны. Следовательно, четырёхугольник, образованный пересечениями биссектрис, имеет противоположные стороны параллельными и прямой угол. Это прямоугольник.