5. Постройте прямоугольник по углу между диагоналями и периметру.

Числовые значения угла и периметра в условии не указаны, поэтому единственный конкретный прямоугольник построить нельзя. Ниже приведён способ построения для заданных угла \(\varphi\) и периметра \(P\). Считаем \(\varphi\) острым углом между диагоналями (для квадрата \(\varphi=90^\circ\)).

Пусть стороны прямоугольника — \(a\ge b\). Из геометрии диагоналей следует \(\tan(\varphi/2)=b/a\), а из периметра — \(a+b=P/2\). Обозначим \(r=\tan(\varphi/2)\). Тогда

\(a=\frac{P}{2(1+r)}\), \(b=\frac{Pr}{2(1+r)}\).

1. Постройте угол \(\varphi/2\) и прямоугольный треугольник с катетами \(u\) и \(v\), для которого \(v/u=\tan(\varphi/2)\).
2. Постройте отрезок длины \(P/2\) и разделите его в отношении \(u:v\). Полученные части будут сторонами \(a\) и \(b\).
3. Постройте прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b\), затем проведите его диагонали.

Схематический чертёж (не в масштабе):

Чертёж показывает расположение элементов; соотношение сторон определяется заданными \(\varphi\) и \(P\).