4. В ящике стола лежит 7 синих и 8 черных ручек. Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера.

В ящике всего 7 синих + 8 черных = 15 ручек.

Проверим каждое утверждение:

1. «Среди любых 7 ручек обязательно будет хотя бы одна черная».
   Это утверждение верно. Если взять 7 ручек, то в худшем случае все 7 могут оказаться синими. Но так как синих всего 7, то следующая (8-я) ручка уже точно будет черной. Если мы берем 7 ручек, то максимальное количество синих, которое мы можем вытащить, это 7. Значит, если мы вытащим 7 ручек, среди них точно не будет 8 черных. Но утверждение звучит иначе. Если мы вытащим 7 ручек, и они все будут синими, то черной ручки не будет. А если мы вытащим 6 синих и 1 черную, то утверждение верно. Но нас интересует, будет ли *обязательно* хоть одна черная. Если мы вытащим ВСЕ 7 синих ручек, то черной не будет. Значит, это утверждение неверно.
2. «Среди любых 9 ручек обязательно найдется 3 черных ручки».
   Это утверждение верно. В худшем случае мы можем вытащить все 7 синих ручек. Тогда чтобы набрать 9 ручек, нам нужно будет взять еще 2 ручки. Эти 2 ручки точно будут черными. Таким образом, среди 9 ручек будет максимум 7 синих и минимум 2 черных. Но нам нужно 3 черных. Если мы вытащим 6 синих и 3 черных, то утверждение верно. Если мы вытащим 7 синих и 2 черных, то утверждение неверно. Это утверждение неверно.
3. «Если достать 5 ручек, то все они могут оказаться одного цвета».
   Это утверждение верно. Мы можем достать 5 синих ручек (так как синих всего 7) или 5 черных ручек (так как черных всего 8).
4. «Среди любых 10 ручек обязательно найдется 2 синих ручки».
   Это утверждение верно. В худшем случае мы можем вытащить все 8 черных ручек. Тогда, чтобы набрать 10 ручек, нам нужно будет взять еще 2 ручки. Эти 2 ручки точно будут синими. Таким образом, среди 10 ручек будет минимум 2 синих.

Ответ:
3, 4