4. Вычислите: 1) i¹³; i¹⁰⁰; i¹⁹⁹³; 2) (1 + i)¹⁰; 3) a = −1/2 + (√3/2)i. Найдите a⁴, a¹¹, a¹⁹⁹²; 4) ((1 + i)/(1 − i))¹⁹⁹³.

1. Степени \(i\) имеют период \(4\): \(i^{13}=i\), \(i^{100}=1\), \(i^{1993}=i\).
2. \((1+i)^2=2i\), поэтому \((1+i)^{10}=(2i)^5=32i\).
3. \(a=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\). Поэтому \(a^4=\cos\frac{8\pi}{3}+i\sin\frac{8\pi}{3}=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\); \(a^{11}=\cos\frac{22\pi}{3}+i\sin\frac{22\pi}{3}=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\); \(a^{1992}=1\), так как \(1992\) кратно \(3\).
4. \(\dfrac{1+i}{1-i}=i\), поэтому \(\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{1993}=i^{1993}=i\).

Ответ: 1) \(i;1;i\); 2) \(32i\); 3) \(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i;\ -\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i;\ 1\); 4) \(i\).