4. Вычислите: a) (7^9 * 7^11) / 7^18; 6) ((3^4)^2 * 2^11) / (4 * 36^4)

Решение:

1. а) \( \frac{7^9 \cdot 7^{11}}{7^{18}} \)
   • Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе:
   • \( \frac{7^{9+11}}{7^{18}} = \frac{7^{20}}{7^{18}} \)
   • Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
   • \( 7^{20-18} = 7^2 = 49 \)
2. б) \( \frac{(3^4)^2 \cdot 2^{11}}{4 \cdot 36^4} \)
   • Упростим числитель, используя свойство \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):
   • \( (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8 \)
   • Числитель: \( 3^8 \cdot 2^{11} \)
   • Упростим знаменатель:
   • \( 4 = 2^2 \)
   • \( 36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \)
   • \( 36^4 = (2^2 \cdot 3^2)^4 = (2^2)^4 \cdot (3^2)^4 = 2^8 \cdot 3^8 \)
   • Знаменатель: \( 4 \cdot 36^4 = 2^2 \cdot (2^8 \cdot 3^8) = 2^{2+8} \cdot 3^8 = 2^{10} \cdot 3^8 \)
   • Теперь подставим упрощённые числитель и знаменатель в дробь:
   • \( \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{2^{10} \cdot 3^8} \)
   • Сократим \( 3^8 \) и \( 2^{10} \):
   • \( 2^{11-10} = 2^1 = 2 \)

Ответ: а) 49; б) 2.