4. Вычислите: а) \( \frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}} \); б) \( \frac{(5^3)^5 \cdot 3^{16}}{9 \cdot 225^7} \)

Решение:

1. а) Используем свойства степеней:
   \( \frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}} = \frac{6^{15+11}}{6^{24}} = \frac{6^{26}}{6^{24}} = 6^{26-24} = 6^2 = 36 \)
2. б) Приведем числа к основанию 3 и 5:
   \( 9 = 3^2 \)
   \( 225 = 15^2 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2 \)
   \( 225^7 = (3^2 \cdot 5^2)^7 = 3^{14} \cdot 5^{14} \)
   \( (5^3)^5 = 5^{15} \)
   Теперь подставим в выражение:
   \( \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot (3^{14} \cdot 5^{14})} = \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^{2+14} \cdot 5^{14}} = \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^{16} \cdot 5^{14}} \)
   Сокращаем:
   \( 5^{15-14} \cdot 3^{16-16} = 5^1 \cdot 3^0 = 5 \cdot 1 = 5 \)

Ответ: а) 36; б) 5.