4. Вычислите: а) \(\frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}}\); б) \(\frac{(5^3)^5 \cdot 3^{16}}{9 \cdot 225^7}\)

Решение:

а)

1. Используем свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) и \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\):

$$ \frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}} = \frac{6^{15+11}}{6^{24}} = \frac{6^{26}}{6^{24}} = 6^{26-24} = 6^2 = 36 $$

б)

1. Представим числа в виде простых множителей:

$$ 9 = 3^2 $$$$ 225 = 15^2 = (3 \times 5)^2 = 3^2 \times 5^2 $$

2. Подставим в исходное выражение:

$$ \frac{(5^3)^5 \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot (3^2 \cdot 5^2)^7} $$

3. Упростим степени:

$$ \frac{5^{3 \times 5} \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot (3^{2 \times 7} \cdot 5^{2 \times 7})} = \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot 3^{14} \cdot 5^{14}} $$

4. Сгруппируем основания:

$$ \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^{2+14} \cdot 5^{14}} = \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^{16} \cdot 5^{14}} $$

5. Сократим одинаковые степени:

$$ 5^{15-14} \times 3^{16-16} = 5^1 \times 3^0 = 5 \times 1 = 5 $$

Ответ: а) 36; б) 5