4. Вычислите: а) \(\frac{7^9 · 7^{11}}{7^{18}}\); б) \(\frac{(3^4)^2 · 2^{11}}{4 · 36^4}\)

Решение:

1. а) Вычисление \(\frac{7^9 · 7^{11}}{7^{18}}\):
   • Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием: \( a^m · a^n = a^{m+n} \). В числителе: \( 7^9 · 7^{11} = 7^{9+11} = 7^{20} \).
   • Дробь принимает вид: \( \frac{7^{20}}{7^{18}} \).
   • Используем правило деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \). \( \frac{7^{20}}{7^{18}} = 7^{20-18} = 7^2 \).
   • Вычисляем: \( 7^2 = 49 \).
2. б) Вычисление \(\frac{(3^4)^2 · 2^{11}}{4 · 36^4}\):
   • Упростим числитель: \( (3^4)^2 = 3^{4 · 2} = 3^8 \).
   • Знаменатель: \( 4 = 2^2 \). \( 36 = 6^2 = (2 · 3)^2 = 2^2 · 3^2 \).
   • Тогда \( 36^4 = (2^2 · 3^2)^4 = (2^2)^4 · (3^2)^4 = 2^8 · 3^8 \).
   • Знаменатель: \( 4 · 36^4 = 2^2 · 2^8 · 3^8 = 2^{2+8} · 3^8 = 2^{10} · 3^8 \).
   • Дробь имеет вид: \( \frac{3^8 · 2^{11}}{2^{10} · 3^8} \).
   • Сократим \( 3^8 \): \( \frac{2^{11}}{2^{10}} \).
   • Сократим степени \( 2 \): \( 2^{11-10} = 2^1 = 2 \).

Ответ: а) 49; б) 2.