4. Вычислите: a) \( \frac{7^9 × 7^{11}}{7^{18}} \) б) \( \frac{(3^4)^2 × 2^{11}}{4 × 36^4} \)

Решение:

1. а) \( \frac{7^9 × 7^{11}}{7^{18}} \)
   1. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
      \( \frac{7^{9+11}}{7^{18}} = \frac{7^{20}}{7^{18}} \)
   2. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:
      \( 7^{20-18} = 7^2 = 49 \)
2. б) \( \frac{(3^4)^2 × 2^{11}}{4 × 36^4} \)
   1. Сначала упростим числитель:
      \( (3^4)^2 = 3^{4 × 2} = 3^8 \)
   2. Теперь упростим знаменатель. Разложим 36 на простые множители: \( 36 = 4 × 9 = 2^2 × 3^2 \).
      \( 4 × 36^4 = 2^2 × (2^2 × 3^2)^4 = 2^2 × (2^2)^4 × (3^2)^4 = 2^2 × 2^8 × 3^8 = 2^{10} × 3^8 \)
   3. Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:
      \( \frac{3^8 × 2^{11}}{2^{10} × 3^8} \)
   4. Сократим общие множители:
      \( \frac{2^{11}}{2^{10}} = 2^{11-10} = 2^1 = 2 \)

Ответ: а) 49; б) 2