По желанию ДОП, (не обязательное задание). Решить систему: \( \begin{cases} \frac{5x - 3 + 9y}{3} = \frac{2x + 3y - 2}{2} \\ \frac{x - 3y}{2} = \frac{2x - 3y}{3} \end{cases} \)

Решение:

Сначала упростим каждое уравнение системы.

Первое уравнение:

\( \frac{5x - 3 + 9y}{3} = \frac{2x + 3y - 2}{2} \)
Приведем к общему знаменателю 6:

\( 2(5x - 3 + 9y) = 3(2x + 3y - 2) \)
\( 10x - 6 + 18y = 6x + 9y - 6 \)
Перенесем все члены в одну сторону:

\( 10x - 6x + 18y - 9y - 6 + 6 = 0 \)
\( 4x + 9y = 0 \) (Уравнение 1')

Второе уравнение:

\( \frac{x - 3y}{2} = \frac{2x - 3y}{3} \)
Приведем к общему знаменателю 6:

\( 3(x - 3y) = 2(2x - 3y) \)
\( 3x - 9y = 4x - 6y \)
Перенесем все члены в одну сторону:

\( 3x - 4x - 9y + 6y = 0 \)
\( -x - 3y = 0 \)
\( x = -3y \) (Уравнение 2')

Теперь у нас есть новая, более простая система:

\( \begin{cases} 4x + 9y = 0 \\ x = -3y \end{cases} \)

Подставим значение \( x \) из второго уравнения в первое:

\( 4(-3y) + 9y = 0 \)
\( -12y + 9y = 0 \)
\( -3y = 0 \)
\( y = 0 \)

Теперь найдем \( x \), подставив \( y = 0 \) в уравнение \( x = -3y \):

\( x = -3(0) \)
\( x = 0 \)

Проверка:

Подставим \( x = 0 \) и \( y = 0 \) в исходные уравнения:

1) \( \frac{5(0) - 3 + 9(0)}{3} = \frac{-3}{3} = -1 \)
\( \frac{2(0) + 3(0) - 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) (Верно)

2) \( \frac{0 - 3(0)}{2} = \frac{0}{2} = 0 \)
\( \frac{2(0) - 3(0)}{3} = \frac{0}{3} = 0 \) (Верно)

Ответ: \( (0; 0) \)