4. Вычислите: б) \(\frac{(3^4)^2 \cdot 2^{11}}{4 \cdot 36^4}\)

Решение:

1. Шаг 1: Упростим числитель, используя свойство \( (a^m)^n = a^{mn} \).
   \( (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8 \).
   Числитель: \( 3^8 \cdot 2^{11} \).
2. Шаг 2: Упростим знаменатель, разложив 36 на простые множители.
   \( 36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \)
   \( 36^4 = (2^2 \cdot 3^2)^4 = (2^2)^4 \cdot (3^2)^4 = 2^{8} \cdot 3^{8} \)
3. Шаг 3: Подставим упрощенные выражения в дробь.
   \( \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{4 \cdot 2^8 \cdot 3^8} \)
4. Шаг 4: Сократим общие множители.
   \( \frac{\cancel{3^8} \cdot 2^{11}}{2^2 \cdot \cancel{2^8} \cdot \cancel{3^8}} = \frac{2^{11}}{2^2 \cdot 2^8} = \frac{2^{11}}{2^{10}} \)
5. Шаг 5: Используем свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \>.
   \( 2^{11-10} = 2^1 = 2 \)

Ответ: 2