4 Вычислите: \( \frac{27^{-6} \cdot 9^5}{3^{-4}} \).

Решение:

Для вычисления значения выражения приведем все основания к одному — числу 3.

• Заменим 27 на 3³ и 9 на 3²: \( \frac{(3^3)^{-6} \cdot (3^2)^5}{3^{-4}} \).
• Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m } \): \( \frac{3^{3 \cdot (-6)} \cdot 3^{2 \cdot 5}}{3^{-4}} = \frac{3^{-18} \cdot 3^{10}}{3^{-4}} \).
• При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: \( \frac{3^{-18+10}}{3^{-4}} = \frac{3^{-8}}{3^{-4}} \).
• При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: \( 3^{-8 - (-4)} = 3^{-8+4} = 3^{-4} \).
• Представим результат в виде дроби: \( \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81} \).

Ответ: \( \frac{1}{81} \)