4. Вычислите \[ \frac{3^{2} \cdot 8^{2}}{16^{5}} \]

Чтобы вычислить значение выражения \[ \frac{3^{2} \cdot 8^{2}}{16^{5}} \], приведем все числа к основанию 2:

\[ 8 = 2^3 \]

\[ 16 = 2^4 \]

Теперь подставим эти значения в выражение:

\[ \frac{3^{2} \cdot (2^3)^{2}}{(2^4)^{5}} \]

Используем свойства степеней \[ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \]:

\[ \frac{3^{2} \cdot 2^{3 \cdot 2}}{2^{4 \cdot 5}} = \frac{3^{2} \cdot 2^{6}}{2^{20}} \]

Теперь используем свойство деления степеней с одинаковым основанием \[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \]:

\[ 3^{2} \cdot 2^{6 - 20} = 3^{2} \cdot 2^{-14} \]

Чтобы избавиться от отрицательного показателя степени, используем правило \[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]:

\[ \frac{3^{2}}{2^{14}} \]

Вычисляем значения:

\[ \frac{9}{16384} \]

Ответ: \[ \frac{9}{16384} \]