4. Вычислите: \frac{3⁻⁹ ⋅ 9⁻⁴}{27⁻⁶}.

Решение:

Для вычисления приведем все основания степеней к одному основанию, то есть к 3:

• 9 = 3²
• 27 = 3³

Теперь подставим эти значения в выражение:

• \frac{3⁻⁹ ⋅ (3²)⁻⁴}{(3³)⁻⁶}

Возведем степени в степени, перемножив показатели:

• (3²)^-4 = 3^{2 * (-4)} = 3^-8
• (3³)^-6 = 3^{3 * (-6)} = 3^-18

Подставим обратно в дробь:

• \frac{3⁻⁹ ⋅ 3⁻⁸}{3⁻¹⁸}

Теперь умножим степени в числителе, сложив показатели:

• 3^{-9 + (-8)} = 3^-17

Получим:

• \frac{3⁻¹⁷}{3⁻¹⁸}

Разделим степени, вычитая показатели:

• 3^{-17 - (-18)} = 3^{-17 + 18} = 3¹ = 3.

Ответ: 3.