4. Вычислите: \( \frac{(4 \cdot 3^{17} - 3^{16}) \cdot 242}{(11 \cdot 3^{5})^3 \cdot (-2)^3} \).

Решение:

Упростим числитель:

\( 4 \cdot 3^{17} - 3^{16} = 4 \cdot 3 \cdot 3^{16} - 3^{16} = 12 \cdot 3^{16} - 1 \cdot 3^{16} = (12 - 1) \cdot 3^{16} = 11 \cdot 3^{16} \)

Числитель равен \( 11 \cdot 3^{16} \cdot 242 \).

Упростим знаменатель:

\( (11 \cdot 3^{5})^3 = 11^3 \cdot (3^5)^3 = 11^3 \cdot 3^{15} \)

\( (-2)^3 = -8 \)

Знаменатель равен \( 11^3 \cdot 3^{15} \cdot (-8) \).

Теперь запишем дробь:

\( \frac{11 \cdot 3^{16} \cdot 242}{11^3 \cdot 3^{15} \cdot (-8)} \)

Разложим 242 на множители: \( 242 = 2 \cdot 121 = 2 \cdot 11^2 \).

Подставим это в дробь:

\( \frac{11 \cdot 3^{16} \cdot 2 \cdot 11^2}{11^3 \cdot 3^{15} \cdot (-8)} \)

Объединим степени с одинаковыми основаниями:

\( \frac{2 \cdot 11^{1+2} \cdot 3^{16}}{-8 \cdot 11^3 \cdot 3^{15}} = \frac{2 \cdot 11^3 \cdot 3^{16}}{-8 \cdot 11^3 \cdot 3^{15}} \)

Сократим \( 11^3 \) и \( 3^{15} \):

\( \frac{2 \cdot 3^{16-15}}{-8} = \frac{2 \cdot 3^1}{-8} = \frac{6}{-8} \)

Сократим дробь:

\( \frac{6}{-8} = \frac{3}{-4} = -0.75 \)

Ответ: -0.75