6. Решите задачу. Пешеход сначала шёл в горку со скоростью 3 км/ч, а затем спускался с неё со скоростью 5 км/ч. Найдите об- щий путь, проделанный пешеходом, если дорога в горку на 1 км длиннее спуска, а затраченное на весь путь время равно 3 ч.

Решение:

Пусть \( S_{спуска} \) — расстояние спуска (км), тогда \( S_{горки} = S_{спуска} + 1 \) (км).

Скорость пешехода в горку \( v_{горки} = 3 \) км/ч.

Скорость пешехода с горы \( v_{спуска} = 5 \) км/ч.

Время, затраченное на подъём в горку: \( t_{горки} = \frac{S_{горки}}{v_{горки}} = \frac{S_{спуска} + 1}{3} \) (ч).

Время, затраченное на спуск с горы: \( t_{спуска} = \frac{S_{спуска}}{v_{спуска}} = \frac{S_{спуска}}{5} \) (ч).

Общее время в пути равно 3 часа:

\( t_{горки} + t_{спуска} = 3 \)

\( \frac{S_{спуска} + 1}{3} + \frac{S_{спуска}}{5} = 3 \)

Приведём дроби к общему знаменателю 15:

\( \frac{5(S_{спуска} + 1)}{15} + \frac{3S_{спуска}}{15} = 3 \)

\( 5(S_{спуска} + 1) + 3S_{спуска} = 3 \cdot 15 \)

\( 5S_{спуска} + 5 + 3S_{спуска} = 45 \)

\( 8S_{спуска} + 5 = 45 \)

\( 8S_{спуска} = 45 - 5 \)

\( 8S_{спуска} = 40 \)

\( S_{спуска} = \frac{40}{8} = 5 \) км.

Теперь найдём расстояние, пройденное в горку:

\( S_{горки} = S_{спуска} + 1 = 5 + 1 = 6 \) км.

Общий путь, проделанный пешеходом, равен сумме расстояний подъёма и спуска:

\( S_{общий} = S_{горки} + S_{спуска} = 6 + 5 = 11 \) км.

Ответ: 11 км