4. Вычислите: \(\(\frac{5^{-9} \cdot 25^{-2}}{125^{-4}}\) .

Решение:

Для вычисления значения выражения, представим все числа в виде степени числа 5:

\( 25 = 5^2 \)

\( 125 = 5^3 \)

Подставим эти значения в выражение:

\[ \frac{5^{-9} \cdot (5^2)^{-2}}{(5^3)^{-4}} \]

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

\[ \frac{5^{-9} \cdot 5^{2 \cdot (-2)}}{5^{3 \cdot (-4)}} = \frac{5^{-9} \cdot 5^{-4}}{5^{-12}} \]

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\[ \frac{5^{-9 + (-4)}}{5^{-12}} = \frac{5^{-13}}{5^{-12}} \]

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\[ 5^{-13 - (-12)} = 5^{-13 + 12} = 5^{-1} \]

Представим отрицательную степень в виде дроби:

\[ 5^{-1} = \frac{1}{5} \]

Ответ: \(\frac{1}{5}\).