№4. Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и C, если ВС = 13 см, AD = 27 см, CD = 10 см, ∠D = 30°.

Решение:

1. Площадь трапеции находится по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.
2. Основания трапеции: \( AD = 27 \text{ см} \) (большее основание) и \( BC = 13 \text{ см} \) (меньшее основание).
3. Проведём высоту \( h \) из вершины \( C \) к основанию \( AD \). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной \( CD \) и отрезком на основании \( AD \).
4. В этом треугольнике \( CD = 10 \text{ см} \) — гипотенуза, \( \angle D = 30^{\circ} \). Высота \( h \) противолежит углу \( 30^{\circ} \).
5. Найдём высоту: \( h = CD \cdot \sin(\angle D) = 10 \text{ см} \cdot \sin(30^{\circ}) = 10 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ см} \).
6. Теперь вычислим площадь трапеции: \( S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{27 \text{ см} + 13 \text{ см}}{2} \cdot 5 \text{ см} = \frac{40}{2} \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 20 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 100 \text{ см}^2 \).

Ответ: 100 см².