№5*. В параллелограмме ABCD ∠A = 60°, диагональ BD перпендикулярна к стороне АВ. Прямая, проходящая через середину отрезка BD — точку М — параллельно AD, пересекает сторону АВ в точке К, МК = 8 см. Найдите площадь треугольника.

Решение:

1. В параллелограмме ABCD \( \angle A = 60^{\circ} \). Диагональ \( BD \perp AB \), значит \( \angle ABD = 90^{\circ} \).
2. Рассмотрим \( \triangle ABD \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). \( \angle ADB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
3. Обозначим \( AB = a \), \( AD = b \).
4. В \( \triangle ABD \): \( BD = AB \cdot \tan(60^{\circ}) = a \sqrt{3} \) и \( AB = BD \cdot \tan(30^{\circ}) \) → \( a = a \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \) - это не верно.
5. Правильно: \( AB = BD \cdot \cos(60^{\circ}) \) → \( a = BD \cdot \frac{1}{2} \) → \( BD = 2a \).
6. \( AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \).
7. \( \angle DAB = 60^{\circ} \) , \( \angle ADB = 30^{\circ} \)
8. \( M \) — середина \( BD \). Прямая \( MK \parallel AD \) и \( MK = 8 \text{ см} \).
9. По теореме Фалеса, если прямая, параллельная стороне треугольника, пересекает две другие стороны, то она отсекает пропорциональные отрезки.
10. В \( \triangle ABD \) прямая \( MK \parallel AD \) и \( M \) — середина \( BD \). Значит, \( K \) — середина \( AB \) и \( MK = \frac{1}{2} AD \).
11. \( 8 \text{ см} = \frac{1}{2} AD \) → \( AD = 16 \text{ см} \).
12. Так как \( AD = b = 16 \text{ см} \) и \( AD = a\sqrt{5} \) (из шага 4), то \( a\sqrt{5} = 16 \) → \( a = \frac{16}{\sqrt{5}} \).
13. \( AB = a = \frac{16}{\sqrt{5}} \text{ см} \).
14. \( BD = 2a = \frac{32}{\sqrt{5}} \text{ см} \).
15. Площадь \( \triangle ABD = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{\sqrt{5}} \cdot \frac{32}{\sqrt{5}} = \frac{16 \cdot 32}{2 \cdot 5} = \frac{512}{10} = 51.2 \text{ см}^2 \).
16. Площадь параллелограмма \( ABCD = 2 \cdot S_{\triangle ABD} = 2 \cdot 51.2 \text{ см}^2 = 102.4 \text{ см}^2 \).
17. Вопрос: Найдите площадь треугольника. Какой треугольник? Предположим, \( \triangle BKM \) или \( \triangle KMD \) или \( \triangle AB D \) ?
18. Если имеется в виду \( \triangle ABD \), то площадь уже найдена.
19. Если имеется в виду \( \triangle BKM \), то \( K \) — середина \( AB \), \( M \) — середина \( BD \). \( \triangle BKM \) подобен \( \triangle BAD \) с коэффициентом \( \frac{1}{2} \). \( S_{\triangle BKM} = (\frac{1}{2})^2 \cdot S_{\triangle ABD} = \frac{1}{4} \cdot 51.2 = 12.8 \text{ см}^2 \).
20. Если имеется в виду \( \triangle KMD \), то \( S_{\triangle KMD} = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle BKM} - S_{\triangle ADM} \).
21. \( S_{\triangle ADM} = S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot 51.2 = 25.6 \text{ см}^2 \).
22. \( S_{\triangle KMD} = 51.2 - 12.8 - 25.6 = 12.8 \text{ см}^2 \).
23. По условию, \( MK = 8 \text{ см} \). \( MK \) — средняя линия \( \triangle ABD \) (так как \( MK \parallel AD \) и \( M \) — середина \( BD \)).
24. Тогда \( AD = 2 \cdot MK = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см} \).
25. \( \triangle ABD \) — прямоугольный, \( \angle ABD = 90^{\circ} \), \( \angle A = 60^{\circ} \), \( \angle ADB = 30^{\circ} \).
26. \( AB = BD \cdot \cot(60^{\circ}) = BD \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \) (неправильно).
27. \( AB = BD \cdot \tan(30^{\circ}) = BD \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \) (неправильно).
28. \( AB = AD \cdot \cos(60^{\circ}) = 16 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 8 \text{ см} \).
29. \( BD = AD \cdot \sin(60^{\circ}) = 16 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ см} \).
30. Площадь \( \triangle ABD = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 8\sqrt{3} \text{ см} = 32\sqrt{3} \text{ см}^2 \).
31. \( K \) — середина \( AB \), \( M \) — середина \( BD \).
32. \( \triangle KBM \) подобен \( \triangle ABD \) с коэффициентом \( \frac{1}{2} \).
33. Площадь \( \triangle KBM = (\frac{1}{2})^2 \cdot S_{\triangle ABD} = \frac{1}{4} \cdot 32\sqrt{3} \text{ см}^2 = 8\sqrt{3} \text{ см}^2 \).

Ответ: 8\( \sqrt{3} \) см².