4. Выражение векторов в треугольнике с пропорцией: В треугольнике \(ABC\) на стороне \(AC\) отмечена точка \(K\) так, что \(AK:KC=1:2\). Выразите вектор \(\overrightarrow{BK}\) через векторы \(\vec{m}=\overrightarrow{BA}\) и \(\vec{n}=\overrightarrow{BC}\).

Поскольку \(AK:KC=1:2\), точка \(K\) делит отрезок \(AC\) в отношении \(1:2\), следовательно, \(\overrightarrow{AK}=\frac13\overrightarrow{AC}\).

Выразим \(\overrightarrow{AC}\) через заданные векторы: \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=-\vec{m}+\vec{n}\).

Тогда \(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=\vec{m}+\frac13(-\vec{m}+\vec{n})=\frac23\vec{m}+\frac13\vec{n}\).

Ответ: \(\overrightarrow{BK}=\frac23\vec{m}+\frac13\vec{n}\).