5. Задача на доказательство: Даны четыре произвольные точки $P,Q,R,S$. Докажите, что справедливо равенство: $\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{SQ}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{SR}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Задача на доказательство: Даны четыре произвольные точки $P,Q,R,S$. Докажите, что справедливо равенство:…$ Фото задания

Accepted Answer

Представим каждый вектор через радиус-векторы точек, обозначив их радиус-векторами $\vec{p},\vec{q},\vec{r},\vec{s}$:

\[\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{SQ}=(\vec{r}-\vec{p})+(\vec{q}-\vec{s})=\vec{r}+\vec{q}-\vec{p}-\vec{s}.\]

Правая часть равенства:

\[\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{SR}=(\vec{q}-\vec{p})+(\vec{r}-\vec{s})=\vec{q}+\vec{r}-\vec{p}-\vec{s}.\]

Полученные выражения равны, поскольку сложение векторов коммутативно. Следовательно, исходное равенство верно для любых точек $P,Q,R,S$.

5. Задача на доказательство: Даны четыре произвольные точки \(P,Q,R,S\). Докажите, что справедливо равенство: \(\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{SQ}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{SR}\).