4. Вывести формулу первой космической скорости с рисунком.

Для спутника массой \(m\), движущегося по круговой орбите радиуса \(r=R+h\) вокруг планеты массой \(M\), сила тяготения обеспечивает центростремительное ускорение.

1. Приравниваем силу тяготения и центростремительную силу: \(\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv_1^2}{r}\).
2. Сокращаем на массу спутника \(m\) и умножаем на \(r\): \(v_1^2=\frac{GM}{r}\).
3. Извлекаем квадратный корень и подставляем \(r=R+h\): \(v_1=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}\).
4. У поверхности планеты \(h=0\), поэтому \(v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}\). Поскольку \(g=\frac{GM}{(R+h)^2}\), формулу также можно записать как \(v_1=\sqrt{g(R+h)}\).