4) \(|x-2|=1+4x\)

Правая часть должна быть неотрицательной: \(1+4x\ge 0\), поэтому \(x\ge -\frac{1}{4}\).

1. Если \(x-2\ge 0\), то \(x-2=1+4x\). Отсюда \(-3=3x\), поэтому \(x=-1\), но это не удовлетворяет условию \(x\ge 2\).
2. Если \(x-2<0\), то \(-(x-2)=1+4x\). Отсюда \(-x+2=1+4x\), \(1=5x\), поэтому \(x=\frac{1}{5}\).

Ответ: \(x=\frac{1}{5}\).