4) x + √x = 12;

Решение:

Пусть \( y = \sqrt{x} \), тогда \( y^2 = x \). Заменим в уравнении:

\( y^2 + y = 12 \)

Перенесём всё в одну часть:

\( y^2 + y - 12 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]

Найдём корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Вспомним, что \( y = \sqrt{x} \), а \( \sqrt{x} \) не может быть отрицательным. Поэтому \( y = -4 \) не подходит.

Рассмотрим \( y = 3 \):

\( \sqrt{x} = 3 \)

Возведём обе части в квадрат:

\( x = 3^2 \)

\( x = 9 \)

Проверим корень \( x = 9 \):

\( 9 + \sqrt{9} = 9 + 3 = 12 \) (верно)

Ответ: \( x=9 \).