4. x, y, z natural sonlar uchun \( \frac{2x+3y}{6} = z \) bo'lsa, x quyidagi sonlardan qaysi biriga qoldiqsiz bo'linadi? A) 2 B) 3 C) 4 D) 6

Решение:

Дано уравнение \( \frac{2x+3y}{6} = z \), где \( x, y, z \) — натуральные числа. Преобразуем уравнение:

\[ 2x + 3y = 6z \]

Из этого уравнения следует, что \( 2x + 3y \) должно делиться на 6. Так как \( 6z \) делится на 6, то и \( 2x + 3y \) должно делиться на 6.

Рассмотрим делимость \( 2x + 3y \) на 2 и 3.

Делимость на 2:

У нас есть \( 2x \), что всегда делится на 2. Чтобы \( 2x + 3y \) делилось на 2, \( 3y \) также должно делиться на 2. Так как 3 — нечётное число, \( y \) должно быть чётным числом. Пусть \( y = 2k \) для некоторого натурального числа \( k \).

Делимость на 3:

У нас есть \( 3y \), что всегда делится на 3. Чтобы \( 2x + 3y \) делилось на 3, \( 2x \) также должно делиться на 3. Так как 2 и 3 взаимно просты, \( x \) должно делиться на 3. Пусть \( x = 3m \) для некоторого натурального числа \( m \).

Таким образом, \( x \) должно делиться на 3.

Подставим \( x = 3m \) и \( y = 2k \) в исходное уравнение:

\[ 2(3m) + 3(2k) = 6z \]

\[ 6m + 6k = 6z \]

\[ m + k = z \]

Так как \( m \) и \( k \) — натуральные числа (или могут быть нулями, если \( x, y, z \) — неотрицательные целые числа, но в условии натуральные), то \( z \) также будет натуральным числом.

Из наших выводов следует, что \( x \) должно делиться на 3.

Ответ: B) 3