4.За круглый стол на 17 стульев в случайном порядке рассаживаются 15 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.

Решение:

Общее число мест за столом: \( n = 17 \).

Количество мальчиков: 15.

Количество девочек: 2.

Рассмотрим девочек как единый блок. Если девочки сидят рядом, то они занимают 2 смежных стула.

Чтобы девочки сидели рядом, они могут занять любую из 17 пар соседних мест (с учётом, что стол круглый, 17-е место соседствует с 1-м).

Пусть первая девочка сядет на любое место. Всего 17 вариантов.

Для того чтобы вторая девочка села рядом, есть 2 варианта места: слева или справа от первой девочки.

Таким образом, число благоприятных рассадок для двух девочек, сидящих рядом, равно \( 17 \times 2 \), но так как порядок девочек не важен, мы делим на \( 2! \), что равно 2. Поэтому количество благоприятных пар мест для девочек равно 17.

Общее число способов рассадить 2 девочек на 17 стульев равно числу сочетаний из 17 по 2: \( C_{17}^2 = \frac{17!}{2!(17-2)!} = \frac{17 \times 16}{2 \times 1} = 17 \times 8 = 136 \).

Число благоприятных исходов (девочки сидят рядом) равно 17.

Вероятность того, что девочки будут сидеть рядом, равна:

\[ P(\text{девочки рядом}) = \frac{\text{Число способов, когда девочки рядом}}{\text{Общее число способов рассадить девочек}} = \frac{17}{136} \]\[ P(\text{девочки рядом}) = \frac{17}{136} = \frac{1}{8} \]

Ответ: \( \frac{1}{8} \)