№4. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением \( S(t) = \frac{1}{5}t^5 - \frac{1}{4}t^4 + 2 \). Найдите скорость и ускорение в момент времени \( t=3c \), если \( S \) — путь (м), \( t \) — время (с).

Решение:

Скорость \( v(t) \) — это первая производная от пути \( S(t) \) по времени \( t \).

Ускорение \( a(t) \) — это первая производная от скорости \( v(t) \) по времени \( t \), или вторая производная от пути \( S(t) \) по времени \( t \).

1. Найдем скорость \( v(t) \):

\[ v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{5}t^5 - \frac{1}{4}t^4 + 2 \right) \]
\[ v(t) = \frac{1}{5} \cdot 5t^4 - \frac{1}{4} \cdot 4t^3 + 0 = t^4 - t^3 \]

2. Найдем ускорение \( a(t) \):

\[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt} (t^4 - t^3) \]
\[ a(t) = 4t^3 - 3t^2 \]

3. Теперь найдем скорость и ускорение в момент времени \( t=3c \).

Скорость при \( t=3 \):

\[ v(3) = 3^4 - 3^3 = 81 - 27 = 54 \text{ м/с} \]

Ускорение при \( t=3 \):

\[ a(3) = 4(3)^3 - 3(3)^2 = 4(27) - 3(9) = 108 - 27 = 81 \text{ м/с}^2 \]

Ответ: Скорость \( v(3) = 54 \) м/с, ускорение \( a(3) = 81 \) м/с².