№6. Найдите значение выражения: \( 10^{2lg5+1} \)

Решение:

Воспользуемся свойствами степеней и логарифмов для упрощения выражения \( 10^{2lg5+1} \).

1. Применим свойство степеней \( a^{m+n} = a^m · a^n \):

\[ 10^{2lg5+1} = 10^{2lg5} · 10^1 \]

2. Применим свойство степеней \( (a^m)^n = a^{mn} \):

\[ 10^{2lg5} = (10^{lg5})^2 \]

3. Воспользуемся основным логарифмическим тождеством \( a^{log_a b} = b \), где \( a=10 \) и \( b=5 \). В нашем случае \( 10^{lg5} = 5 \) (так как \( "lg\u0022 \) означает десятичный логарифм, то есть \( \log_{10} \)).

\[ (10^{lg5})^2 = 5^2 = 25 \]

4. Теперь подставим полученное значение обратно в выражение из шага 1:

\[ 10^{2lg5+1} = 25 · 10 = 250 \]

Ответ: 250.