№9. В треугольнике \( ABC \) \( AC = BC \), \( AB=3 \), \( \sin A = \frac{\sqrt{7}}{4} \). Найдите \( AC \).

Решение:

Треугольник \( ABC \) является равнобедренным, так как \( AC = BC \). Углы при основании равны, то есть \( \angle A = \angle B \).

Из условия имеем:

• \( AB = 3 \)
• \( \sin A = \frac{\sqrt{7}}{4} \)
• \( AC = BC \)

Воспользуемся теоремой синусов для треугольника \( ABC \):

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \]

Поскольку \( AC = BC \), то \( \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \) является тождеством.

Возьмем отношение \( \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} \).

Нам нужно найти \( AC \), а \( AC = BC \). Значит, мы можем найти \( AC \) из \( \frac{AC}{\sin B} \) или \( \frac{BC}{\sin A} \).

Так как \( \angle A = \angle B \), то \( \sin A = \sin B = \frac{\sqrt{7}}{4} \).

Теперь подставим известные значения в теорему синусов:

\[ \frac{3}{\sin C} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{7}}{4}} \]

Чтобы найти \( AC \), нам нужно знать \( \sin C \). Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому \( C = 180° - (A + B) \).

Найдем \( \cos A \) используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \). Поскольку \( A \) — угол треугольника, \( \cos A \) может быть как положительным, так и отрицательным. Однако, если \( A \) тупой, то \( B \) тоже будет тупым, что невозможно для треугольника. Значит, \( A \) — острый угол, и \( \cos A > 0 \).

\[ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{16-7}{16} = \frac{9}{16} \]
\[ \cos A = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} \]

Теперь найдем \( \sin C \) используя формулу \( \sin C = \sin(180° - (A+B)) = \sin(A+B) \) (так как \( A=B \), то \( \sin C = \sin(180° - 2A) = \sin(2A) \)):

\[ \sin(2A) = 2 \sin A \cos A = 2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6\sqrt{7}}{16} = \frac{3\sqrt{7}}{8} \]

Теперь мы можем найти \( AC \) из теоремы синусов:

\[ \frac{3}{\sin C} = \frac{AC}{\sin A} \]
\[ \frac{3}{\frac{3\sqrt{7}}{8}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{7}}{4}} \]

Выразим \( AC \):

\[ AC = \frac{3 \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3\sqrt{7}}{8}} \]

Разделим дроби:

\[ AC = 3 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{8}{3\sqrt{7}} \]

Сократим \( 3 \) и \( \sqrt{7} \):

\[ AC = \frac{8}{4} = 2 \]

Ответ: \( AC = 2 \).