4. Заменить знак * степенью с основанием a так, чтобы стало верным равенство: 1) a³ · * = a¹⁰; 2) * · a = a²; 3) a¹² : * = a⁶; 4) * : a⁵ = a⁶; 5) a¹⁰ : (* : a⁵) = a⁵.

При умножении показатели складываются, при делении — вычитаются.

1. \(a^3\cdot a^*=a^{10}\), значит показатель пропуска равен \(10-3=7\): * = \(a^7\).
2. \(a^*\cdot a^1=a^2\), значит \(*+1=2\): * = \(a^1\).
3. \(a^{12}:a^*=a^6\), значит \(12-*=6\): * = \(a^6\).
4. \(a^*:a^5=a^6\), значит \(*-5=6\): * = \(a^{11}\).
5. Пусть \(*=a^k\). Тогда \(a^{10}:(a^k:a^5)=a^{10-(k-5)}=a^5\). Следовательно, \(15-k=5\), откуда \(k=10\): * = \(a^{10}\).

Ответ: 1) \(a^7\); 2) \(a^1\); 3) \(a^6\); 4) \(a^{11}\); 5) \(a^{10}\).