40. Решите систему уравнений: $$\begin{cases} \log_3 x - \log_3 y = 2 \\ 2y^2 + x - 11 = 0 \end{cases}$$

Решение:

1. Из первого уравнения выразим \( x \) через \( y \):
   \( \log_3 \frac{x}{y} = 2 \)
   \( \frac{x}{y} = 3^2 = 9 \)
   \( x = 9y \)
2. Подставим \( x = 9y \) во второе уравнение:
   \( 2y^2 + 9y - 11 = 0 \)
3. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \):
   \( D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 81 + 88 = 169 \)
   \( y_1 = \frac{-9 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 13}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)
   \( y_2 = \frac{-9 - \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - 13}{4} = \frac{-22}{4} = -5.5 \)
4. Найдем соответствующие значения \( x \):
   При \( y_1 = 1 \), \( x_1 = 9 \cdot 1 = 9 \). Проверим условие \( x>0 \) и \( y>0 \). \( 9>0 \) и \( 1>0 \). Система имеет решение \( (9; 1) \).
   При \( y_2 = -5.5 \), \( x_2 = 9 \cdot (-5.5) = -49.5 \). Условие \( x>0 \) и \( y>0 \) не выполняется.

Ответ: (9; 1).