40. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, AC = 20 см, BC = 15 см. На стороне AB отмечена точка M так, что BM = 4 см. Найдите отрезок CM.

Сначала найдём гипотенузу: \(AB=\sqrt{20^2+15^2}=25\) см.

Пусть H — основание перпендикуляра из C на AB. В прямоугольном треугольнике проекция катета BC на гипотенузу равна \(BH=BC^2/AB=225/25=9\) см. Высота \(CH=AC\cdot BC/AB=20\cdot15/25=12\) см.

Так как BM = 4 см, то \(HM=BH-BM=9-4=5\) см. В прямоугольном треугольнике CHM:

\(CM=\sqrt{CH^2+HM^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13\) см.

Ответ: 13 см.