405. Решите уравнения: 1) $\sqrt{3+\sqrt{2+x}}=4$; 2) $\sqrt{2+\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}=3$; 3) $\sqrt{4-\sqrt{10+\sqrt{x}}}=2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 405. Решите уравнения: 1) $\sqrt{3+\sqrt{2+x}}=4$; 2) $\sqrt{2+\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}=3$; 3)…$ Фото задания

405. Решите уравнения: 1) $\sqrt{3+\sqrt{2+x}}=4$; 2) $\sqrt{2+\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}=3$; 3) $\sqrt{4-\sqrt{10+\sqrt{x}}}=2$.

Accepted Answer

1) Возводим обе части в квадрат: $3+\sqrt{2+x}=16$, значит $\sqrt{2+x}=13$. Ещё раз возводим в квадрат: $2+x=169$, откуда $x=167$. Проверка: оба радикала определены, а исходная левая часть равна 4.

2) В выражении под внешним корнем читается сумма $2+\sqrt{1+x}+\sqrt{x}$. Возводим в квадрат: $2+\sqrt{1+x}+\sqrt{x}=9$, откуда $\sqrt{1+x}+\sqrt{x}=7$. Обозначим $t=\sqrt{x}$, где $t\ge0$. Тогда $\sqrt{t^2+1}=7-t$, поэтому $t\le7$. Возводим в квадрат: $t^2+1=(7-t)^2$, откуда $14t=48$ и $t=\frac{24}{7}$. Следовательно, $x=t^2=\frac{576}{49}$. Подстановка в уравнение после первого возведения в квадрат даёт $\sqrt{1+x}=\frac{25}{7}$, а сумма радикалов равна $7$, так что корень подходит.

3) Возводим в квадрат: $4-\sqrt{10+\sqrt{x}}=4$. Тогда $\sqrt{10+\sqrt{x}}=0$, что невозможно, поскольку при $x\ge0$ выражение $10+\sqrt{x}\ge10$. Корней нет.

Ответ: 1) 167; 2) $\frac{576}{49}$; 3) корней нет.

405. Решите уравнения: 1) \(\sqrt{3+\sqrt{2+x}}=4\); 2) \(\sqrt{2+\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}=3\); 3) \(\sqrt{4-\sqrt{10+\sqrt{x}}}=2\).

Ответ: