41.6. Вычислите: а) \(\log_{\sqrt2}1\); б) \(\log_{0,5}\frac1{4\sqrt2}\); в) \(\log_{\sqrt3}(81\sqrt3)\); г) \(\lg\frac1{\sqrt[3]{10}}\).

1. а) Любое допустимое основание в нулевой степени равно 1: \((\sqrt2)^0=1\). Значит, логарифм равен 0.
2. б) \(0,5=2^{-1}\), а \(\frac1{4\sqrt2}=2^{-2}\cdot2^{-1/2}=2^{-5/2}=(2^{-1})^{5/2}\). Значит, логарифм равен \(\frac52\).
3. в) \(81\sqrt3=3^4\cdot3^{1/2}=3^{9/2}=(3^{1/2})^9\). Значит, логарифм равен 9.
4. г) \(\frac1{\sqrt[3]{10}}=10^{-1/3}\), поэтому десятичный логарифм равен \(-\frac13\).

Ответ: а) 0; б) \(\frac52\); в) 9; г) \(-\frac13\).