41 На прямой отмечены точки О, А и В так, что ОА = 12 см, ОВ = 9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ, если точка О:

Решение:

а) лежит на отрезке АВ;

Если точка О лежит на отрезке АВ, то точки расположены в следующем порядке: А — О — В. В этом случае \( AB = AO + OB \).

\( AB = 12 \text{ см} + 9 \text{ см} = 21 \text{ см} \).

Пусть М — середина отрезка ОА. Тогда \( OM = \frac{OA}{2} = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \text{ см} \).

Пусть N — середина отрезка ОВ. Тогда \( ON = \frac{OB}{2} = \frac{9 \text{ см}}{2} = 4,5 \text{ см} \).

Расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ равно \( MN \). Так как точки М и N находятся на луче ОВ (поскольку ОА > OB, то А находится дальше от О, чем В), то \( MN = OM - ON \).

\( MN = 6 \text{ см} - 4,5 \text{ см} = 1,5 \text{ см} \).

б) точка О;

Если точка О является началом координат, а точки А и В находятся на прямой, то возможно два случая:

Случай 1: Точки А и В находятся по одну сторону от О. Пусть обе точки лежат на положительной полуоси. Тогда \( OA = 12 \text{ см} \), \( OB = 9 \text{ см} \). Точка В ближе к О.

М — середина ОА, \( OM = 6 \text{ см} \).

N — середина ОВ, \( ON = 4,5 \text{ см} \).

Расстояние \( MN = |OM - ON| = |6 \text{ см} - 4,5 \text{ см}| = 1,5 \text{ см} \).

Случай 2: Точки А и В находятся по разные стороны от О. Пусть А на положительной полуоси, В на отрицательной. Тогда \( OA = 12 \text{ см} \), \( OB = 9 \text{ см} \).

М — середина ОА, \( OM = 6 \text{ см} \).

N — середина ОВ. Точка N будет на отрицательной полуоси, расстояние от О до N равно \( ON = 4,5 \text{ см} \).

Расстояние \( MN = OM + ON \) (так как точки лежат по разные стороны от О).

\( MN = 6 \text{ см} + 4,5 \text{ см} = 10,5 \text{ см} \).

Ответ: а) 1,5 см; б) 1,5 см или 10,5 см.