410. (Задача-исследование.) Проверьте, верны ли равенства: √(2 2/3) = 2√(2/3); √(3 2/3) = 3√(3/8); √(4 4/15) = 4√(4/15).

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и сравним квадраты левой и правой частей. Все части равенств неотрицательны.

1. \(2\frac23=\frac83\), а \((2\sqrt{\frac23})^2=4\cdot\frac23=\frac83\). Равенство верно.
2. \(3\frac23=\frac{11}{3}\), а \((3\sqrt{\frac38})^2=9\cdot\frac38=\frac{27}{8}\). Поскольку \(\frac{11}{3}\ne\frac{27}{8}\), равенство неверно.
3. \(4\frac4{15}=\frac{64}{15}\), а \((4\sqrt{\frac4{15}})^2=16\cdot\frac4{15}=\frac{64}{15}\). Равенство верно.

Ответ: первое и третье равенства верны, второе — неверно.