42. Докажите, что: а) n⁴ + 2n³ − n² − 2n делится на 24, если n ∈ N; б) (n² + 4n + 3)(n² + 6n + 8) делится на 24, если n ∈ N; в) n³ − n делится на 6, если n ∈ N; г) n³ − 4n делится на 48, если n ∈ N, n — чётное.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Разложим на множители: \(n^4+2n^3-n^2-2n=n(n+2)(n-1)(n+1)\). Это произведение четырёх последовательных целых чисел, поэтому оно делится на 24: среди них есть множитель, делящийся на 4, другой чётный множитель, а также множитель, делящийся на 3.
б) \((n^2+4n+3)(n^2+6n+8)=(n+1)(n+3)(n+2)(n+4)\) — произведение четырёх последовательных чисел; значит, оно делится на 24.
в) \(n^3-n=(n-1)n(n+1)\) — произведение трёх последовательных чисел. Одно из них делится на 3, и хотя бы одно чётное, поэтому произведение делится на 6.
г) Так как \(n\) чётное, положим \(n=2k\). Тогда \(n^3-4n=8k(k^2-1)=8(k-1)k(k+1)\). Три последовательных числа \((k-1),k,(k+1)\) дают произведение, делящееся на 6; следовательно, исходное выражение делится на 48.

Ответ: