44. Упростите выражения: а) (m + n − 4mn/(m + n)) : (m/(m + n) − n/(n − m) − 2mn/(m² − n²)); б) (a³ + b³)/(a + b) : (a² − b²) + 2b/(a + b) − ab/(a² − b²); в) (x/(x² − 4) − 8/(x² + 2x)) · (x² − 2x)/(4 − x) + (x + 8)/(x + 2); г) (1/(c² + 3c + 2) + 2c/(c² + 4c + 3) + 1/(c² + 5c + 6))² · ((c − 3)² + 12c)/2.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Первый множитель: \(m+n-\frac{4mn}{m+n}=\frac{(m-n)^2}{m+n}\). Во второй скобке приводим к общему знаменателю: \(\frac{m}{m+n}-\frac{n}{n-m}-\frac{2mn}{m^2-n^2}=\frac{m(m-n)+n(m+n)-2mn}{(m-n)(m+n)}=\frac{m-n}{m+n}\). Поэтому всё выражение равно \(m-n\).
б) Используем разложение суммы кубов и общий знаменатель: \(\frac{a^3+b^3}{a+b}:(a^2-b^2)+\frac{2b}{a+b}-\frac{ab}{a^2-b^2}=\frac{a^2-ab+b^2+2b(a-b)-ab}{(a-b)(a+b)}=1\).
в) В первой скобке \(\frac{x}{x^2-4}-\frac{8}{x^2+2x}=\frac{(x-4)^2}{x(x-2)(x+2)}\). После умножения на дробь получаем \(-\frac{x-4}{x+2}\), поэтому всё выражение равно \(-\frac{x-4}{x+2}+\frac{x+8}{x+2}=\frac{12}{x+2}\).
г) Сложим дроби в скобках, разложив знаменатели на множители: \(\frac{1}{(c+1)(c+2)}+\frac{2c}{(c+1)(c+3)}+\frac{1}{(c+2)(c+3)}=\frac{2(c^2+4c+2)}{(c+1)(c+2)(c+3)}\). Также \(((c-3)^2+12c)/2=(c+3)^2/2\). Значит, результат: \(\frac{2(c^2+4c+2)^2}{(c+1)^2(c+2)^2}\).

Ответ: