42. Вычислите наиболее рациональным способом: а) 3 + 5 + 8 + 9 + 17 + 15 + 12 + 11; б) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 9 + 18 + 27 + 36 + 45; в) \(\frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{3}{9}+\ldots+\frac{7}{9}+\frac{8}{9}\); г) \(\frac{1}{20}+\frac{2}{20}+\frac{3}{20}+\ldots+\frac{18}{20}+\frac{19}{20}\); д) 1 − 2 + 3 − 4 + … + 99 − 100; е) (1 + 3 + 5 + … + 99) − (2 + 4 + 6 + … + 100); ж) 100 + 99 − 98 − 97 + 96 + 95 − 94 − 93 + … + 4 + 3 − 2 − 1; з) \(\frac{1}{9}-\frac{2}{9}+\frac{3}{9}-\frac{4}{9}+\ldots+\frac{17}{9}-\frac{18}{9}\); и) \(\frac{1}{101}+\frac{2}{101}+\frac{3}{101}+\ldots+\frac{99}{101}+\frac{100}{101}\); к) \((\frac{1}{51}+\frac{2}{51}+\frac{3}{51}+\ldots+\frac{50}{51})-(\frac{51}{151}+\frac{52}{151}+\frac{53}{151}+\ldots+\frac{100}{151})\); л) 7,63 + 2,41 + 2,59 + 2,37; м) 3,82 + 1,58 + 3,42 + 6,18.

а) Сгруппируем слагаемые в пары с суммой 20: \((3+17)+(5+15)+(8+12)+(9+11)=4\cdot20=80\).

б) \((1+2+3+4+5)+(9+18+27+36+45)=15+9(1+2+3+4+5)=15+135=150\).

в) \(\frac{1+2+\ldots+8}{9}=\frac{36}{9}=4\).

г) \(\frac{1+2+\ldots+19}{20}=\frac{190}{20}=9.5\).

д) Сгруппируем соседние слагаемые: \((1-2)+(3-4)+\ldots+(99-100)=50\cdot(-1)=-50\).

е) Сумма первых 50 нечётных чисел равна \(50^2=2500\), а сумма чётных чисел равна \(2(1+2+\ldots+50)=2550\). Разность: \(2500-2550=-50\).

ж) Объединим числа в группы по четыре: \((100+99-98-97)+(96+95-94-93)+\ldots+(4+3-2-1)\). Каждая группа равна 4, таких групп 25, поэтому сумма равна \(25\cdot4=100\).

з) \((1-2)+(3-4)+\ldots+(17-18)\) — это 9 пар, каждая равна \(-1\). Получаем \(9\cdot(-1)=-9\), значит значение выражения равно \(\frac{-9}{9}=-1\).

и) \(\frac{1+2+\ldots+100}{101}=\frac{5050}{101}=50\).

к) \(\frac{1+2+\ldots+50}{51}-\frac{51+52+\ldots+100}{151}=\frac{1275}{51}-\frac{3775}{151}=25-25=0\).

л) Удобно сложить пары: \((7.63+2.37)+(2.41+2.59)=10+5=15\).

м) \((3.82+1.58)+(3.42+6.18)=5.4+9.6=15\).

Ответ: а) 80; б) 150; в) 4; г) 9,5; д) −50; е) −50; ж) 100; з) −1; и) 50; к) 0; л) 15; м) 15.