44. а) Одно число при делении на 8 дает остаток 3, а другое число при делении на 4 дает остаток 1. Докажите, что сумма этих чисел делится на 4 без остатка. б) Одно число при делении на 10 дает остаток 3, а другое число при делении на 5 дает остаток 2. Докажите, что сумма этих чисел делится на 5 без остатка.

а) Пусть первое число равно \(8k+3\), а второе — \(4m+1\), где \(k\) и \(m\) — целые неотрицательные числа. Тогда их сумма равна \((8k+3)+(4m+1)=8k+4m+4=4(2k+m+1)\). Следовательно, сумма делится на 4 без остатка.

б) Пусть первое число равно \(10k+3\), а второе — \(5m+2\). Тогда \((10k+3)+(5m+2)=10k+5m+5=5(2k+m+1)\). Следовательно, сумма делится на 5 без остатка.