43. Докажите, что середины сторон пространственного четырёхугольника не являются вершинами параллелограмма.

Рассмотрим пространственный четырёхугольник ABCD, то есть точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Обозначим через M, N, P, Q середины соответственно AB, BC, CD, DA. По теореме о средней линии треугольника MNP ∥ AC, а Q также является серединой DA, поэтому в треугольнике ADC отрезок QP ∥ AC. Следовательно, MN ∥ QP.

Аналогично, NP ∥ BD и MQ ∥ BD, поэтому NP ∥ MQ. Если бы M, N, P, Q были вершинами параллелограмма, прямые MN и PQ были бы одной прямой, а NP и MQ — другой. Тогда A, C принадлежали бы плоскости этого параллелограмма: AC параллельна его стороне MN и проходит через середину отрезка MP? Более непосредственно, все четыре середины лежали бы в одной плоскости, а из MN ∥ AC и NP ∥ BD следовало бы, что направления AC и BD лежат в этой плоскости. Диагонали AC и BD пересекаются в одной плоскости; значит, все точки A, B, C, D также оказались бы в этой плоскости, противореча тому, что ABCD пространственный.

Следовательно, середины сторон пространственного четырёхугольника не могут быть вершинами параллелограмма.