462. Упростите выражение:

Решение:

Используем свойства степеней: \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \) и \( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \).

• а) \( x^3 \cdot (x^2)^5 \): \( x^3 \cdot x^{2 \cdot 5} = x^3 \cdot x^{10} = x^{3+10} = x^{13} \)
• б) \( (a^3)^2 \cdot a^5 \): \( a^{3 \cdot 2} \cdot a^5 = a^6 \cdot a^5 = a^{6+5} = a^{11} \)
• в) \( (a^2)^3 \cdot (a^4)^2 \): \( a^{2 \cdot 3} \cdot a^{4 \cdot 2} = a^6 \cdot a^8 = a^{6+8} = a^{14} \)
• г) \( (x^2)^5 \cdot (x^5)^2 \): \( x^{2 \cdot 5} \cdot x^{5 \cdot 2} = x^{10} \cdot x^{10} = x^{10+10} = x^{20} \)
• д) \( (m^2 m^3)^4 \): \( (m^{2+3})^4 = (m^5)^4 = m^{5 \cdot 4} = m^{20} \)
• е) \( (x^4 x^2)^3 \): \( (x^{4+2})^3 = (x^6)^3 = x^{6 \cdot 3} = x^{18} \)

Ответ: а) \( x^{13} \); б) \( a^{11} \); в) \( a^{14} \); г) \( x^{20} \); д) \( m^{20} \); е) \( x^{18} \).