467. Какой цифрой может оканчиваться:

Решение:

Чтобы определить, какой цифрой может оканчиваться квадрат или четвертая степень натурального числа, рассмотрим последние цифры квадратов и четвертых степеней чисел.

а) квадрат натурального числа:

Последние цифры натуральных чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Последние цифры квадратов этих чисел:

• \( 0^2 = 0 \)
• \( 1^2 = 1 \)
• \( 2^2 = 4 \)
• \( 3^2 = 9 \)
• \( 4^2 = 16 \) → 6
• \( 5^2 = 25 \) → 5
• \( 6^2 = 36 \) → 6
• \( 7^2 = 49 \) → 9
• \( 8^2 = 64 \) → 4
• \( 9^2 = 81 \) → 1

Возможные последние цифры квадрата натурального числа: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

б) четвёртая степень натурального числа:

Рассмотрим четвертые степени чисел, исходя из предыдущего:

• \( 0^4 = 0 \)
• \( 1^4 = 1 \)
• \( 2^4 = (2^2)^2 = 4^2 = 16 \) → 6
• \( 3^4 = (3^2)^2 = 9^2 = 81 \) → 1
• \( 4^4 = (4^2)^2 = 16^2 = 256 \) → 6
• \( 5^4 = (5^2)^2 = 25^2 = 625 \) → 5
• \( 6^4 = (6^2)^2 = 36^2 = 1296 \) → 6
• \( 7^4 = (7^2)^2 = 49^2 = 2401 \) → 1
• \( 8^4 = (8^2)^2 = 64^2 = 4096 \) → 6
• \( 9^4 = (9^2)^2 = 81^2 = 6561 \) → 1

Возможные последние цифры четвертой степени натурального числа: 0, 1, 5, 6.

Ответ: а) 0, 1, 4, 5, 6, 9; б) 0, 1, 5, 6.