468. Решите уравнения: а) \(3^{x+1}-2\cdot3^{x-2}=75\); б) \((\frac15)^{x-1}-(\frac15)^{x+1}=4{,}8\); в) \(5\cdot(\frac12)^{x-3}+(\frac12)^{x+1}=162\); г) \(5\cdot9^x+9^{x-2}=406\).

а) Вынесем \(3^{x-2}\): \((27-2)3^{x-2}=75\), поэтому \(3^{x-2}=3\). Значит, \(x-2=1\), \(x=3\).

б) Обозначим \(t=(\frac15)^{x-1}\). Тогда \((\frac15)^{x+1}=\frac{t}{25}\), и \(t-\frac{t}{25}=4{,}8\). Отсюда \(t=5\), то есть \((\frac15)^{x-1}=5=(\frac15)^{-1}\). Значит, \(x=0\).

в) Обозначим \(t=(\frac12)^{x-3}\). Тогда \((\frac12)^{x+1}=\frac{t}{16}\), поэтому \(5t+\frac{t}{16}=162\), откуда \(t=32\). Значит, \((\frac12)^{x-3}=2^5\), то есть \(3-x=5\) и \(x=-2\).

г) Вынесем \(9^{x-2}\): \((5\cdot81+1)9^{x-2}=406\). Получаем \(406\cdot9^{x-2}=406\), поэтому \(9^{x-2}=1\) и \(x=2\).

Ответ: а) 3; б) 0; в) −2; г) 2.