470. Решите уравнения: а) \(3^x+3^{3-x}=12\); б) \(4^{\sqrt{x-2}}+16=10\cdot2^{\sqrt{x-2}}\); в) \((\frac15)^{1-x}-(\frac15)^x=4{,}96\); г) \(4^x-0{,}25^{x-2}=15\).

а) Пусть \(t=3^x>0\). Тогда \(3^{3-x}=\frac{27}{t}\), поэтому \(t+\frac{27}{t}=12\), или \(t^2-12t+27=0\). Корни: \(t=3\) и \(t=9\). Значит, \(x=1\) или \(x=2\).

б) Область определения: \(x\ge2\). Пусть \(y=2^{\sqrt{x-2}}\). Тогда \(y^2+16=10y\), откуда \((y-2)(y-8)=0\). Получаем \(\sqrt{x-2}=1\) или \(3\), следовательно, \(x=3\) или \(x=11\).

в) Перепишем уравнение: \(5^{x-1}-5^{-x}=4{,}96\). Пусть \(t=5^x>0\). Тогда \(\frac{t}{5}-\frac1t=4{,}96\), откуда \(5t^2-124t-25=0\). Положительный корень равен \(t=25\), поэтому \(5^x=25\) и \(x=2\).

г) Так как \(0{,}25=\frac14\), получаем \(4^x-\frac{16}{4^x}=15\). Пусть \(t=4^x>0\). Тогда \(t^2-15t-16=0\), откуда положительный корень \(t=16\). Следовательно, \(x=2\).

Ответ: а) 1; 2; б) 3; 11; в) 2; г) 2.