468. С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь при различных значениях b уравнение: а) √x = x + b; б) √x = −x + b.

Положим t = √x, где t ≥ 0, тогда x = t². Подсчёт корней равносилен подсчёту неотрицательных решений полученных квадратных уравнений.

1. а) t = t² + b, то есть b = t − t². Парабола t − t² на t ≥ 0 достигает максимума 1/4 при t = 1, а при t = 0 равна 0. Поэтому: при b < 0 корней нет; при b = 0 — два (t = 0 и t = 1); при 0 < b < 1/4 — два; при b = 1/4 — один; при b > 1/4 — ни одного.
2. б) t = −t² + b, то есть b = t² + t. При t ≥ 0 функция t² + t возрастает от 0 до бесконечности. Поэтому при b < 0 корней нет, а при b ≥ 0 — один корень.