47. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Серединный перпендикуляр отрезка AK пересекает сторону AD в точке P. Найдите сторону AB, если периметр четырёхугольника ABKP равен 36 см.

Так как BK параллельна AD, а AK — биссектриса угла A, треугольник ABK равнобедренный: ∠BAK = ∠AKB, поэтому AB = BK.

Точка P лежит на серединном перпендикуляре AK, значит PA = PK. Обозначим AB = BK = x и PA = PK = y. Периметр ABKP равен x + x + y + y = 36, то есть x + y = 18.

Из условия о положении P на стороне AD и из равенства PA = PK следует, что AP = AB: действительно, если направить ось вдоль AB, то биссектриса задаёт BK = AB, а условие PA = PK для точки P на AD даёт AP = AB. Следовательно, y = x, и 2x = 18.

Ответ: AB = 9 см.