47. Дан треугольник ABC. На стороне AC взята точка B₁, а на стороне BC — точка A₁. Докажите, что отрезки AA₁ и BB₁ пересекаются (рис. 28).

Отрезок AA₁ соединяет вершину A с точкой A₁ на стороне BC, а отрезок BB₁ — вершину B с точкой B₁ на стороне AC. Оба отрезка лежат внутри треугольника ABC, кроме своих концов.

Предположим, что эти отрезки не пересекаются. Тогда отрезок AA₁ разделит треугольник на две части: в одной находится вершина B, а в другой — точка B₁ на стороне AC. Но отрезок BB₁ соединяет B и B₁, поэтому должен пересечь AA₁. Получено противоречие.

Ответ: отрезки AA₁ и BB₁ пересекаются.