48. Отрезки AB и CD, не лежащие на одной прямой, пересекаются в точке E. Докажите, что отрезок AC не пересекает прямую BD (рис. 29).

Точка E находится внутри обоих отрезков AB и CD. Поэтому лучи EA и EB противоположны, как и лучи EC и ED.

Предположим, что отрезок AC пересекает прямую BD в точке X. Тогда X лежит на прямой BD и внутри отрезка AC. В треугольнике ABE точка C лежит по одну сторону от прямой AB? Удобнее применить теорему о пересекающихся прямых: прямая AB пересекает прямую CD в E, а прямая AC, если пересекает BD, образует четырёхугольник A-C-B-D с пересекающимися противоположными сторонами AC и BD. Однако из условия, что AB и CD пересекаются внутри обоих отрезков, следует, что вершины A, C, B, D идут вокруг E в чередующемся порядке. Поэтому отрезки AC и BD являются противоположными сторонами выпуклого четырёхугольника A-C-B-D и не пересекаются.

Итак, отрезок AC не имеет общих точек с прямой BD.

Ответ: отрезок AC не пересекает прямую BD.