478. Упростить выражение: 1) (sin³(−α) + cos³(−α)) / (1 − sin(−α) cos(−α)); 2) (1 − (sin α + cos(−α))²) / (−sin(−α)).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Используем \(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\) и \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\). Обозначим для краткости \(s=\sin\alpha\), \(c=\cos\alpha\):
\(\frac{\sin^3(-\alpha)+\cos^3(-\alpha)}{1-\sin(-\alpha)\cos(-\alpha)}=\frac{c^3-s^3}{1+sc}=\frac{(c-s)(c^2+cs+s^2)}{1+sc}.\)
Поскольку \(c^2+s^2=1\), получаем \(c^2+cs+s^2=1+cs\), поэтому выражение равно \(c-s=\cos\alpha-\sin\alpha\).
Так как \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\) и \(-\sin(-\alpha)=\sin\alpha\), то
\(\frac{1-(\sin\alpha+\cos(-\alpha))^2}{-\sin(-\alpha)}=\frac{1-(\sin\alpha+\cos\alpha)^2}{\sin\alpha}.\)
Раскрываем квадрат и применяем основное тождество:
\(\frac{1-(\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha)}{\sin\alpha}=\frac{-2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha}=-2\cos\alpha.\)

Ответ: 1) \(\cos\alpha-\sin\alpha\); 2) \(-2\cos\alpha\).