479. Доказать тождество: 1) cos α sin(6π − α) · (1 + ctg²(−α)) = ctg(−α); 2) ((1 − sin²(−α)) / cos(4π − α)) · (sin(α − 2π) / (1 − cos²(−α))) = ctg α.

Преобразуем левую часть, используя периодичность синуса и формулы приведения:

\(\cos\alpha\sin(6\pi-\alpha)(1+\ctg^2(-\alpha))=\cos\alpha(-\sin\alpha)\cdot\frac1{\sin^2\alpha}=-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\ctg(-\alpha).\)

Здесь использовано тождество \(1+\ctg^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}\).

Преобразуем множители левой части:

\(\frac{1-\sin^2(-\alpha)}{\cos(4\pi-\alpha)}=\frac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha}=\cos\alpha,\)

\(\frac{\sin(\alpha-2\pi)}{1-\cos^2(-\alpha)}=\frac{\sin\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac1{\sin\alpha}.\)

Их произведение равно \(\cos\alpha\cdot\frac1{\sin\alpha}=\ctg\alpha\). Следовательно, оба равенства верны при всех значениях α, для которых исходные выражения определены.